Le Gambler's Fallacy — en français « erreur du joueur » — est l'un des raisonnements erronés les plus courants à la roulette :
l'hypothèse que des événements aléatoires passés influencent la probabilité future.
Une analyse mathématique basée sur les schémas des chances simples à l'aide de l'exemple du lancer de pièce :
Une pièce est lancée — 4 fois.
Intuitivement, on s'attendrait à ce que chaque côté apparaisse probablement 2 fois.
Voici donc la vérification :
Les 16 combinaisons suivantes sont possibles (P = Pile, F = Face) :
PPPP (0 fois F), 1 combinaison, probabilité = 1/16
FPPP PFPP PPFP PPPF (1 fois F), 4 comb., prob. = 4/16
FFPP PFPF PFFP FPPF FPFP PPFF (2 fois F), 6 comb., prob. = 6/16
PFFF FPFF FFPF FFFP (3 fois F), 4 comb., prob. = 4/16
FFFF (4 fois F), 1 comb., prob. = 1/16
Cela peut aussi se calculer autrement :
La prob. d'obtenir F 4 fois de suite est (1/2) ^ 4 = 1/16. Même résultat.
( ^ = puissance, exposant)
En fait, il est donc le plus probable d'obtenir 2 fois F et 2 fois P.
Ou autrement dit :
Il y a plus de séquences « mixtes » que « uniformes », c'est-à-dire plus de combinaisons avec 2 F qu'avec 0 F etc.
Pourquoi les lancers passés sont sans importance
Jusque-là, tout est clair. Maintenant, les « croyants » — un cas classique de Gambler's Fallacy — affirment que cela pourrait être utilisé à son avantage.
L'idée est de jouer 2 fois, et si P tombe 2 fois, on mise sur le fait que P ne tombera plus.
Cela vient du fait qu'il avait été calculé à l'origine que P deux fois est plus probable que P trois fois.
Le problème de ce raisonnement est que 2 lancers ont déjà été effectués.
Des combinaisons mentionnées ci-dessus, il ne reste que celles commençant par PP :
PPPP (0 fois F), 1 combinaison, prob. = 1/4
PPFP PPPF (1 fois F), 2 comb., prob. = 2/4 = 1/2
PPFF (2 fois F), 1 comb., prob. = 1/4
Il n'est donc pas du tout le cas que F deux fois, c'est-à-dire PPFF, serait plus probable que PPPP.
En fait, les deux événements sont également probables. Le plus probable maintenant est une fois P et une fois F.
Cela peut aussi se calculer autrement.
La prob. d'obtenir F 2 fois de suite est (1/2) ^ 2 = 1/4. Même résultat.
Surtout, on voit qu'il n'a absolument aucune importance de savoir combien de fois P est tombé auparavant —
c'est le cœur du Gambler's Fallacy : l'indépendance des événements aléatoires.
On pense peut-être maintenant :
OK, alors on lance encore une fois, et si P tombe, on mise sur F et vice versa.
Supposons que P tombe.
Des combinaisons, il ne reste que celles commençant par 3 fois P :
PPPP, 1 combinaison, prob. = 1/2
PPPF, 1 combinaison, prob. = 1/2
Les combinaisons PPPP et PPPF sont maintenant exactement aussi probables — c'est-à-dire exactement égales à la prob. de lancer P ou F, soit 1/2.
Cela peut aussi se calculer autrement : La prob. d'obtenir P en un lancer est (1/2) ^ 1 = 1/2.
La même chose peut être faite avec 30 lancers.
Il faut plus de temps pour l'écrire, mais on arrive au même résultat.
Bien sûr, la prob. d'obtenir P 30 fois en 30 lancers est très faible, soit (1/2) ^ 30 (= 1/1 073 741 824 = 0,000 000 001)¹
Mais si P est déjà tombé 28 fois,
des nombreuses combinaisons initialement possibles, seules celles commençant par 28 fois P restent :
28P+PP, prob. = 1/4
28P+PF et 28P+FP, prob. = 1/2
28P+FF, prob. = 1/4
28P+PP et 28P+FF sont donc également probables.
Cela peut aussi se calculer autrement :
On lance deux fois (ce qui s'est passé avant est complètement hors de propos),
donc la prob. pour 2 fois P = (1/2) ^ 2 = 1/4. Même résultat.
L'exemple de la roulette
On dit peut-être maintenant que la roulette n'est pas un lancer de pièce.
Le principe de l'indépendance des événements aléatoires est cependant exactement le même — on écrit juste plus longtemps pour lister toutes les combinaisons possibles
(c'est pourquoi l'exemple de la pièce est utilisé ici), et la prob. est (1/37) au lieu de (1/2).
Autrement, tout est comme d'habitude. Les lancers précédents n'influencent pas la probabilité à la roulette.
Qui ne le croit pas peut écrire toutes les combinaisons possibles en 10 coups.
Et brièvement concernant l'argument qu'on joue par ex. 5 coups et pas seulement un :
Bien sûr, il est très peu probable que le 28 tombe 5 fois de suite. Mais c'est toujours le cas, soit (1/37) ^ 5 (= 1/69 343 957 = 0,000 000 014)¹
Et ce, peu importe combien de fois le 28 est tombé auparavant.
On n'a donc absolument rien à gagner en attendant que le 28 soit tombé cinq fois de suite — une erreur typique du type Martingale.
On peut tout aussi bien miser d'emblée sur le fait que le 28 ne tombera pas 5 fois de suite.
Conclusion
Cela ne fait aucune différence. C'est exactement la même chose.
Les résultats passés à la roulette n'influencent pas les probabilités futures — c'est mathématiquement démontrable et le cœur du Gambler's Fallacy.
Avec l'aimable autorisation de l'auteur Michelangelo. ¹ Note de l'éditeur.
La version originale a été révisée. Source : Forum DC's Campus (R.I.P.)