El Gambler's Fallacy — en español «error del jugador» — es uno de los errores de razonamiento más comunes en la ruleta:
la suposición de que los eventos aleatorios pasados influyen en la probabilidad futura.
Un análisis matemático basado en los patrones de las chances simples usando el ejemplo del lanzamiento de moneda:
Se lanza una moneda — 4 veces.
Intuitivamente se esperaría que cada lado probablemente salga 2 veces.
Así que se verifica:
Las siguientes 16 combinaciones son posibles (C = Cara, X = Cruz):
CCCC (0 veces X), 1 combinación, probabilidad = 1/16
XCCC CXCC CCXC CCCX (1 vez X), 4 comb., prob. = 4/16
XXCC CXCX CXXC XCCX XCXC CCXX (2 veces X), 6 comb., prob. = 6/16
CXXX XCXX XXCX XXXC (3 veces X), 4 comb., prob. = 4/16
XXXX (4 veces X), 1 comb., prob. = 1/16
Esto también puede calcularse de otra manera:
La prob. de obtener X 4 veces seguidas es (1/2) ^ 4 = 1/16. Mismo resultado.
( ^ = potencia, exponente)
De hecho, lo más probable es que salgan 2 veces X y 2 veces C.
O dicho de otro modo:
Hay más secuencias «mixtas» que «uniformes», es decir, más combinaciones con 2 X que con 0 X etc.
Por qué los lanzamientos pasados son irrelevantes
Hasta aquí, todo claro. Ahora los «creyentes» — un caso clásico de Gambler's Fallacy — afirman que esto podría aprovecharse.
La idea es jugar 2 veces, y si C sale dos veces, se apuesta a que C no saldrá de nuevo.
Esto se debe a que originalmente se calculó que C dos veces es más probable que C tres veces.
El problema de este razonamiento es que ya se han hecho 2 lanzamientos.
De las combinaciones mencionadas anteriormente, solo quedan las que comienzan con CC:
CCCC (0 veces X), 1 combinación, prob. = 1/4
CCXC CCCX (1 vez X), 2 comb., prob. = 2/4 = 1/2
CCXX (2 veces X), 1 comb., prob. = 1/4
Por lo tanto, no es en absoluto el caso de que X dos veces, es decir CCXX, sea más probable que CCCC.
De hecho, ambos eventos son igualmente probables. Lo más probable ahora es una vez C y una vez X.
Esto también puede calcularse de otra manera.
La prob. de obtener X 2 veces seguidas es (1/2) ^ 2 = 1/4. Mismo resultado.
Sobre todo, se puede ver que no importa en absoluto cuántas veces haya salido C antes —
ese es el núcleo del Gambler's Fallacy: la independencia de los eventos aleatorios.
Quizás se piense ahora:
OK, entonces se lanza una vez más, y si sale C, se apuesta a X y viceversa.
Supongamos que sale C.
De las combinaciones solo quedan las que comienzan con 3 veces C:
CCCC, 1 combinación, prob. = 1/2
CCCX, 1 combinación, prob. = 1/2
Ahora las combinaciones CCCC y CCCX son exactamente igual de probables — es decir, exactamente igual a la prob. de lanzar C o X, o sea 1/2.
Esto también puede calcularse de otra manera: La prob. de obtener C en un lanzamiento es (1/2) ^ 1 = 1/2.
Lo mismo puede hacerse con 30 lanzamientos.
Se tarda más en escribirlo, pero se llega al mismo resultado.
Por supuesto, la prob. de obtener C 30 veces en 30 lanzamientos es muy baja, concretamente (1/2) ^ 30 (= 1/1.073.741.824 = 0,000.000.001)¹
Pero si C ya ha salido 28 veces,
de las muchas combinaciones inicialmente posibles solo quedan las que comienzan con 28 veces C:
28C+CC, prob. = 1/4
28C+CX y 28C+XC, prob. = 1/2
28C+XX, prob. = 1/4
28C+CC y 28C+XX son por lo tanto igualmente probables.
Esto también puede calcularse de otra manera:
Se lanzan dos veces (lo que ocurrió antes es completamente irrelevante),
por lo que la prob. para 2 veces C = (1/2) ^ 2 = 1/4. Mismo resultado.
El ejemplo de la ruleta
Ahora quizás se diga que la ruleta no es un lanzamiento de moneda.
El principio de la independencia de los eventos aleatorios es sin embargo exactamente el mismo — simplemente se escribe más al listar todas las combinaciones posibles
(por eso se usa aquí el ejemplo de la moneda), y la prob. es (1/37) en lugar de (1/2).
Por lo demás, todo es como antes. Los lanzamientos anteriores no influyen en la probabilidad en la ruleta.
Quien no lo crea puede escribir todas las combinaciones posibles en 10 golpes.
Y brevemente sobre el argumento de que se juegan p. ej. 5 golpes y no solo uno:
Por supuesto es muy poco probable que el 28 salga 5 veces seguidas. Pero siempre lo es, concretamente (1/37) ^ 5 (= 1/69.343.957 = 0,000.000.014)¹
Y eso independientemente de cuántas veces haya salido el 28 antes.
Por lo tanto, no hay absolutamente nada que ganar esperando a que el 28 haya salido cinco veces seguidas — un error típico del tipo Martingala.
Se puede apostar desde el principio a que el 28 no saldrá 5 veces seguidas.
Conclusión
No hay ninguna diferencia. Es exactamente lo mismo.
Los resultados pasados en la ruleta no influyen en las probabilidades futuras — esto es matemáticamente demostrable y es el núcleo del Gambler's Fallacy.
Con el amable permiso del autor Michelangelo. ¹ Nota del editor.
La versión original ha sido revisada. Fuente: Foro DC's Campus (R.I.P.)