Der Gambler's Fallacy — auf Deutsch „Spielerfehlschluss" — ist einer der häufigsten Denkfehler beim Roulette:
die Annahme, dass vergangene Zufallsereignisse die künftige Wahrscheinlichkeit beeinflussen.
Eine mathematische Betrachtung anhand der Muster von einfachen Chancen am Beispiel des Münzwurfs:
Eine Münze wird geworfen — und zwar 4 mal.
Rein gefühlsmäßig würde man erwarten, dass jede Seite wahrscheinlich 2 mal vorkommt.
Also wird das überprüft:
Folgende 16 Kombinationen sind möglich (K = Kopf, Z = Zahl):
KKKK (0 mal Z), 1 Kombination, also Wahrscheinlichkeit = 1/16
ZKKK KZKK KKZK KKKZ (1 mal Z), 4 Komb., also Wkt. = 4/16
ZZKK ZKZK ZKKZ KZZK KZKZ KKZZ (2 mal Z), 6 Komb., also Wkt. = 6/16
KZZZ ZKZZ ZZKZ ZZZK (3 mal Z), 4 Komb., also Wkt. = 4/16
ZZZZ (4 mal Z), 1 Komb., also Wkt. = 1/16
Das lässt sich auch anders ausrechnen:
Die Wkt., 4 mal hintereinander Z zu treffen, ist (1/2) ^ 4 = 1/16. Gleiches Ergebnis.
( ^ = hoch, Exponent)
Tatsächlich ist es also am wahrscheinlichsten, dass 2 mal Z und 2 mal K kommt.
Oder anders ausgedrückt:
Es gibt mehr „gemischte" als „einfarbige" Reihen, also mehr Kombinationen mit 2 Z als mit 0 Z usw.
Warum vergangene Würfe irrelevant sind
Soweit, so klar. Nun sagen die „Anhänger des Glaubens" — ein klassischer Fall von Gambler's Fallacy — allerdings, dass man das zum Vorteil nutzen könnte.
Die Idee ist, 2 mal zu spielen, und wenn 2 mal K kommt, dann setzt man darauf, dass K nicht noch einmal kommt.
Das liegt daran, dass ursprünglich ausgerechnet wurde, dass 2 mal K wahrscheinlicher ist als 3 mal K.
Das Problem bei dieser Überlegung ist, dass bereits 2 mal gespielt wurde.
Von den oben genannten Kombinationen bleiben also nur noch die übrig, die mit KK anfangen:
KKKK (0 mal Z), 1 Kombination, also Wkt. = 1/4
KKZK KKKZ (1 mal Z), 2 Komb., also Wkt. = 2/4 = 1/2
KKZZ (2 mal Z), 1 Komb., also Wkt. = 1/4
Es ist also keineswegs so, dass jetzt noch zweimal Z, also KKZZ, wahrscheinlicher wäre als KKKK.
Tatsächlich sind beide Ereignisse gleich wahrscheinlich. Am wahrscheinlichsten ist jetzt ein mal K und ein mal Z.
Das lässt sich auch anders ausrechnen.
Die Wkt., 2 mal hintereinander Z zu treffen, ist (1/2) ^ 2 = 1/4. Gleiches Ergebnis.
Vor allem sieht man, dass es überhaupt keine Rolle spielt, wie oft vorher K gefallen ist —
das ist der Kern des Gambler's Fallacy: die Unabhängigkeit von Zufallsereignissen.
Vielleicht denkt man nun:
OK, dann wird eben noch einmal geworfen, und wenn K kommt, setzt man auf Z und umgekehrt.
Angenommen, es fällt K.
Von den Kombinationen bleiben also nur noch die übrig, die mit 3 mal K anfangen:
KKKK, 1 Kombination, also Wkt. = 1/2
KKKZ, 1 Kombination, also Wkt. = 1/2
Nun sind die Kombinationen KKKK und KKKZ genau gleich wahrscheinlich — nämlich genau gleich der Wkt., K oder Z zu werfen, also 1/2.
Das lässt sich auch anders rechnen: Die Wkt., bei einem Wurf K zu treffen, ist (1/2) ^ 1 = 1/2.
Das gleiche lässt sich auch mit 30 Würfen machen.
Man braucht länger, um das aufzuschreiben, kommt aber zum gleichen Ergebnis.
Natürlich ist die Wkt., in 30 Würfen 30 mal K zu treffen, sehr gering, nämlich (1/2) ^ 30 (= 1/1.073.741.824 = 0,000.000.001)¹
Wenn aber schon 28 mal K geworfen wurde,
bleiben von den vielen ursprünglich möglichen Kombinationen nur diejenigen übrig, die mit 28 mal K beginnen:
28K+KK, Wkt. = 1/4
28K+KZ und 28K+ZK, Wkt. = 1/2
28K+ZZ, Wkt. = 1/4
28K+KK und 28K+ZZ sind also gleich wahrscheinlich.
Das lässt sich auch anders rechnen:
Es wird zweimal geworfen (was vorher gefallen ist, ist völlig irrelevant),
also ist die Wkt. für 2 mal K = (1/2) ^ 2 = 1/4. Wieder das gleiche Ergebnis.
Das Roulette-Beispiel
Nun sagt man vielleicht, das Roulettespiel ist kein Münzwurf.
Das Prinzip der Unabhängigkeit von Zufallsereignissen ist jedoch genau das Gleiche — man schreibt nur länger, wenn man alle möglichen Kombinationen aufschreiben will
(deshalb wird hier das Beispiel Münze verwendet), und die Wkt. ist (1/37) statt (1/2).
Ansonsten ist alles wie gehabt. Vorhergehende Würfe beeinflussen die Roulette-Wahrscheinlichkeit nicht.
Wer es nicht glaubt, kann alle möglichen Kombinationen in 10 Coups aufschreiben.
Und noch kurz zu dem Argument, dass man z. B. 5 Coups spielt und nicht nur einen:
Natürlich ist es sehr unwahrscheinlich, dass 5 mal hintereinander die 28 kommt. Das ist es aber immer, nämlich (1/37) ^ 5 (= 1/69.343.957 = 0,000.000.014)¹
Und zwar völlig egal, wie oft die 28 vorher gefallen ist.
Man gewinnt also rein gar nichts, indem man abwartet, bis die 28 fünfmal hintereinander gefallen ist — ein typischer Martingale-Denkfehler.
Man kann gleich von vornherein darauf setzen, dass die 28 nicht 5 mal hintereinander kommt.
Fazit
Es macht keinen Unterschied. Es ist exakt das Gleiche.
Vergangene Roulette-Ergebnisse beeinflussen künftige Wahrscheinlichkeiten nicht — das ist mathematisch beweisbar und der Kern des Gambler's Fallacy.
Mit freundlicher Genehmigung des Autors Michelangelo. ¹ Anmerkung des Verfassers.
Die ursprüngliche Version wurde überarbeitet. Quelle: DC's Campus
