Ошибка игрока (Gambler's Fallacy) — один из самых распространённых заблуждений в рулетке :
предположение, что прошлые случайные события влияют на будущую вероятность.
Математический анализ на основе закономерностей простых шансов на примере броска монеты :
Монета бросается — 4 раза.
Интуитивно можно было бы ожидать, что каждая сторона, вероятно, выпадет 2 раза.
Итак, проверим это :
Возможны следующие 16 комбинаций (О = Орёл, Р = Решка) :
ОООО (0 раз Р), 1 комбинация, вероятность = 1/16
РОOO ОPОО ООРO ОООP (1 раз Р), 4 комб., вер. = 4/16
РРOO ОРОР ОРРO РООР РОРO ООРР (2 раза Р), 6 комб., вер. = 6/16
ОРРР РОРР РРОP РРРO (3 раза Р), 4 комб., вер. = 4/16
РРРР (4 раза Р), 1 комб., вер. = 1/16
Это можно вычислить и иначе :
Вер. получить Р 4 раза подряд = (1/2) ^ 4 = 1/16. Тот же результат.
( ^ = степень, показатель)
На самом деле наиболее вероятно, что выпадет 2 раза Р и 2 раза О.
Иначе говоря :
Существует больше «смешанных», чем «однородных» последовательностей, то есть больше комбинаций с 2 Р, чем с 0 Р и т. д.
Почему прошлые броски не имеют значения
Итак, всё ясно. Теперь «верующие» — классический случай ошибки игрока — утверждают, что это можно использовать в свою пользу.
Идея состоит в том, чтобы сыграть 2 раза, и если О выпадает дважды, ставится на то, что О больше не выпадет.
Это объясняется тем, что изначально было подсчитано, что О дважды более вероятно, чем О трижды.
Проблема этого рассуждения в том, что уже было сделано 2 броска.
Из перечисленных выше комбинаций остаются только те, что начинаются с ОО :
ОООО (0 раз Р), 1 комбинация, вер. = 1/4
ООРO ОООP (1 раз Р), 2 комб., вер. = 2/4 = 1/2
ООРР (2 раза Р), 1 комб., вер. = 1/4
Таким образом, вовсе не так, что Р дважды, то есть ООРР, было бы более вероятным, чем ОООО.
На самом деле оба события одинаково вероятны. Наиболее вероятно сейчас один раз О и один раз Р.
Это можно вычислить и иначе.
Вер. получить Р 2 раза подряд = (1/2) ^ 2 = 1/4. Тот же результат.
Прежде всего, можно видеть, что совершенно не имеет значения, сколько раз до этого выпадало О —
в этом и состоит суть ошибки игрока : независимость случайных событий.
Возможно, сейчас думается :
ОК, тогда бросим ещё раз, и если выпадет О, ставим на Р и наоборот.
Предположим, выпало О.
Из комбинаций остаются только те, что начинаются с 3 раз О :
ОООО, 1 комбинация, вер. = 1/2
ОООP, 1 комбинация, вер. = 1/2
Теперь комбинации ОООО и ОООP одинаково вероятны — а именно точно так же, как вер. бросить О или Р, то есть 1/2.
Это можно вычислить иначе : вер. получить О при одном броске = (1/2) ^ 1 = 1/2.
То же самое можно сделать с 30 бросками.
На запись уйдёт больше времени, но результат будет тем же.
Конечно, вер. получить О 30 раз в 30 бросках очень мала, а именно (1/2) ^ 30 (= 1/1 073 741 824 = 0,000 000 001)¹
Но если О уже выпало 28 раз,
из множества изначально возможных комбинаций остаются только те, что начинаются с 28 раз О :
28О+ОО, вер. = 1/4
28О+ОР и 28О+РО, вер. = 1/2
28О+РР, вер. = 1/4
28О+ОО и 28О+РР одинаково вероятны.
Это можно вычислить иначе :
Делается два броска (то, что было до, совершенно не важно),
поэтому вер. для 2 раз О = (1/2) ^ 2 = 1/4. Тот же результат.
Пример с рулеткой
Теперь можно сказать, что рулетка — это не бросок монеты.
Принцип независимости случайных событий однако точно такой же — просто нужно больше писать, перечисляя все возможные комбинации
(именно поэтому здесь используется пример с монетой), а вер. равна (1/37) вместо (1/2).
В остальном всё как прежде. Предыдущие броски не влияют на вероятность в рулетке.
Кто не верит, может записать все возможные комбинации за 10 раундов.
И кратко об аргументе, что играется, например, 5 раундов, а не только один :
Конечно, очень маловероятно, что 28 выпадет 5 раз подряд. Но так оно и есть всегда, а именно (1/37) ^ 5 (= 1/69 343 957 = 0,000 000 014)¹
И это совершенно независимо от того, сколько раз до этого выпадало 28.
Таким образом, нет абсолютно никакого смысла ждать, пока 28 не выпадет пять раз подряд — типичная ошибка типа Мартингейл.
Можно сразу ставить на то, что 28 не выпадет 5 раз подряд.
Заключение
Это не имеет никакого значения. Это абсолютно одно и то же.
Прошлые результаты в рулетке не влияют на будущие вероятности — это математически доказуемо и является сутью ошибки игрока.
С любезного разрешения автора Michelangelo. ¹ Примечание редактора.
Исходная версия была переработана. Источник : Форум DC's Campus (R.I.P.)